由于導軌受熱彎曲，破壞了導軌及其上部件與機床主軸的平行或垂直系統，降低機床的加工精度，致使被加工零件的跳動誤差增大。第三是引起部件移動的直線度變化。熱變形引起導軌彎曲，從而導致工作臺部件運動平面的彎曲，使得運動部件移動時出現直線度誤差，造成被加工零件不必要的直線度誤差出現<4>.

　　數學模型的建立之一導軌長度隨溫度變設導軌材料為鋼材，其線膨脹系數為，常溫下（溫度為t0=20）導軌的有效長度為L0，溫度為t時的長度為L，根據熱膨脹理論可得導軌長度對溫度變化的微分方程：dL/L=dt，結合相應的邊界條件積分后，即可得到導軌長度隨溫度變化的數學模型<3>：L=L0e（t-20）在以往的生產實際中，考慮到鋼材的熱膨脹率很小，約為1210-6，為了簡化計算，常將上式中的e（t-20）項進行簡化處理，即?。篹（t-20）1+（t-20）若設溫差為t（=t-t0），導軌熱伸長量為L，則有：L=L-L0=L0<1+（t-20）>-L0=L0t這就是往常使用的導軌隨溫度變化的計算模型。

　　數學模型的建立之三拋物線說在實際應用中，利用懸鏈線理論建立的模型計算比較復雜，因此在粗略設計中采用較少。根據前面的假設條件，床身導軌熱變形后的受力與電線的受力類似，只是受力的方向不同而已。因此可以認為，導軌熱變形后的形狀也是懸鏈線。但在實際工程設計中，當懸鏈線兩端距離不大時，尤其像導軌熱變形后的懸鏈線，兩端距離很小，為了簡化雙曲余弦函數的計算，常把懸鏈線近似地當拋物線對待。因此可以建立如所示的坐標系。

　　設拋物線的焦距為p，導軌熱變形*大上拱量為h，根據平面解析幾何知識可得拋物線方程為：x2=-2py根據假設條件可知，當x=%L/2時，y=h，代入上式得：p=L2/8h因此，導軌熱變形后所呈拋物線的方程為：x2=-L24hy這就是利用拋物線理論建立的導軌熱變形數學模型。

　　在實際確定具體導軌的模型時，可以通過測定導軌中點的上拱量h，初步建立模型，然后根據實際情況進行修正。具體修正法就不再探討了。

　　數學模型的建立之四力學分析說基于前面的假設，根據材料力學知識，導軌熱變形后的形狀（所示）屬于導軌梁彎曲后產生的撓曲線，如果用y來表示距A支撐點x遠處的熱變形量，則其數學方程y=f（x）可按下列方式推導出來：中梁彎曲變形前和變形后的截面梁段分別表示于（a）、（b）、（c）。即在所示中的A-A附近截取一小段梁，構成來對A-A截面進行受力與變形分析。

　　將（7）代入撓曲線微分方程得：EIZy（=qLx/2-qx2/2（8）對上式兩邊積分得：EIZy=qLx2/4-qx3/6+C1再積分得：EIZy=qLx3/12-qx4/24+C1x+C24）由邊界條件確定積分常數：當x=0時y=0得C2=0當x=L時y=0得C1=-qL3/245）由此得撓曲線方程為：y=-q24EIz（x4-2Lx3+L3x）考慮到導軌在實際工作時受到的熱變形作用力應向上，所以上式各項前面的運算符號反改后就是機床導軌熱變形后的數學模型。即：y=q24EIz（x4-2Lx3+L3x）模型的修正與應用探討在實踐當中，機床導軌在受熱時，不但存在上拱的變形，同時也可能存在前凸或后凸的變形，還有機床導軌實際形狀與理想形狀的差異等。因此，為了進一步提高機床精度，對由于導軌出現前凸或后凸的變形，使得導軌所受的均布載荷發生變化，需要對均布載荷q加以修正。同時，由于導軌的實際形狀與假設的理想形狀之間存在差異，使得導軌的實際截面慣性矩與理想導軌的截面慣性矩不同而需要對慣性矩IZ進行必要的修正。通過使用修正后的機床導軌熱變形的力學模型進行導軌設計，必然能夠更接近導軌熱變形的實際情況，提高機床的設計精度。至于具體的修正方法，由于篇幅有限，此處不再探討。