這種處理是近似的，因為弧弦逼近只是二維意義下對曲線的逼近，而刀具和工件都是三維體，正確的逼近誤差應以三維刀具在零件面上的*大切深/欠切來表示。影響其大小的因素如下<2，3>：（1）零件表面的局部幾何形狀；（2）刀具的形狀、尺寸和刀軸控制方式；（3）刀具在曲面上的走刀路線；（4）走刀進給步長；（5）多軸情況下，旋轉或擺動機構的結構型式與尺寸。

　　三坐標一般刀具加工非線性誤差分析與走刀步長理論刀具軌跡<4>三軸加工理論刀具軌跡在三軸加工情況下，刀具軸線指向不變，刀具運動是平行于z軸的平動，在一般刀具運動描述下，刀具-曲面嚙合關系如所示。設r（s）為曲面上任一條曲線（s為弧長參數），以刀具軸上的m點作為確定刀具運動的基準點（刀位點），則刀具沿r（s）進行切削的理論刀具軌跡rm（s）為rm（s）=r（s）+R1n（s）+（R2+R1）nxy（s）/nxy（s）式中n（s）為切削點處的曲面單位法矢nxy（s）為在xoy平面上的分量2.2非線性誤差的計算表達式如所示，設r0、r1為曲線r（s）上的兩點，其中r0處弧長參數s=0，r1處弧長參數為s1，記rm0和rm1分別為對應刀位點，且刀具在該兩點間作線性插補運動。線性插補過程中，對任意嚙合點rs（其弧長參數為s，對應理想刀位為rms），由于插補直線偏離理論軌跡，從法向加工考慮，插補直線上對rs具有*大過切或欠切的對應刀位rls可用下述方法確定。

　　設過曲線rm（s）上的rms點且平行于過rs點并沿rs方向的法面的平面為平面Ⅱ，rls以平面Ⅱ與直線rl（t）的交點進行近似估計。

　　三軸加工非線性形誤差描述直線rl（t）的方程為rl（t）=rm0+t（rm1-rm0）0≤t≤1平面Ⅱ的方程為（r-rms）rs=0設rls對應的參數為ts，則rs=0（1）將rm1和rm2均在rm0點展開，即rm1=rm0+rm0s1+12rm0s21+…rms=rm0+rm0s+12rm0s2+…

　　將其代入（1）式得ts=（rm0s+12rm0s2）rs（rm0s1+12rm0s21）rs（2）因為rm=rs+R1n+（R2-R1）nxy/nxy所以rm0=r0+R1n0+（R2-R1）（nxy/nxy）′rm0=r0+R1n0+（R2-R1）（nxy/nxy）″又rs=r0+sr0r0=r0=knn=-kn-gvn=-kn-gv-（k2n+2g）n（nxy/nxy）′=（1-n2z）nxy+nznznxy（1-n2z）3/2=-kn（1-n2z）1/2xy-g（1-n2z）1/2vxy-（knz+gvz）nz（1-n2z）3/2nxy（nxy/nxy）″=（1-n2z）2nxy+2（1-n2z）nznznxy+（nznz-n3znz+n2z+2n2zn2z）nxy（1-n2z）5/2=2nz（knz+gvz）kn（1-n2z）3/2xy+2nz（knz+gvz）g（1-n2z）3/2vxy+（n2z-1）（k2n+2g）+（2n2z+1）（knz+gvz）2（1-n2z）5/2nxy式中a（ax，ay，az），v（vx，vy，vz），n（nx，ny，nz）為曲面在r0處的局部坐標系axy，vxy，nxy分別為xoy坐標平面上的分量kn，g分別為曲面在點r0沿a方向的法曲率和短程撓率將上述各項代入（2）式并忽略高階小量得ts≈{1-R1-（R2-R1）<（1-n2z）-1/2（nxy+gvxy）+（1-n2z）-3/2nz（knz+gvz）nxy>}s{1-R1-（R2-R1）<（1-n2z）-1/2（nxy+gvxy）+（1-n2z）-3/2nz（knz+gvz）nxy>}s1≈s/s1即rls=rm0+（s/s1）（rm1-rm0）≈rm0+srm0+（1/2）ss1rm0（3）由可見，實際位置rls與理想位置rms的位置偏差rlsrms=（1+2），其中2平行于rs處的法矢ns，其大小以1∶1比例產生法向加工誤差；1平行于rs處的切平面為誤差非敏感方向，所引起的加工誤差屬高階小量，相對2引起的誤差可忽略，故rls處刀具在rs點的法向加工誤差為≈2=rlsrmsns（4）因為rlsrms=rms-rls=0.5（s2-sls）rm0rm0=r0+R1n+（R2-R1）（nxy/nxy）″=-R1kna-R1gv+n+（R2-R1）2nz（knaz+gvz）kn（1-n2z）3/2axy+2nz（knaz+gvz）g（1-n2z）3/2vxy+（n2z-1）（k2n+2g）+（2n2z+1）（knaz+gvz）2（1-n2z）5/2nxyns≈（n+sn）/n+sn=（-knsa-gsv+n）/1+（k2n+2g）s=<1-0.5（k2n+2g）s2>（-knsa-gsv+n）將其代入（4）式并忽略高階小量得=0.5（s2-sls）{kn-R1（k2n+2g）+（R2-R1）<（n2z-1）（k2n+2g）+（2n2z+1）（knaz+gvz）2+2nz（knaz+gvz）（naxyn+gvxyn）>/（1-n2z）3/2}（5）走刀步長估計對（5）式右端弧長參數求導，并令′=0，則s=s0。5時取極值。即線性插補段內法向加工誤差的*大值

　　max為max=（s21/8）{-kn+R1（k2n+2g）-（R2-R1）/（1-n2z）3/2}（6）（6）式從三維意義上表達了三坐標一般刀具加工時由于線性逼近時所形成的實際加工誤差，該誤差的影響因素包括曲面形狀、刀具參數和走刀進給方向（反映在局部坐標系以及沿進給方向法曲率和短程撓率的變化），結果比目前CAD/CAM中使用的二維弧弦逼近方法確切。

　　結束語走刀步長的合理確定是曲面加工中一個基本而重要的問題。本文得出的三坐標加工非線性誤差表達是三維意義下較嚴格的刀具包絡成型誤差，其大小在曲面法向定義，綜合考慮了零件表面的局部幾何形狀、刀具形狀尺寸與刀軸控制參數、走刀進給方向的影響，改進了目前CAD/CAM中普遍采用的二維弧弦逼近的近似表達，可適用于多種類型刀具，具有較好的通用性。